문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 오일러 공식 (문단 편집) == 증명 == 증명은 [[테일러 급수]][* [math( e^x )]의 전개식에 [math( x := ix )]를 넣으면 기적처럼 [math(i \sin{ x })]의 전개식과 [math( \cos{ x } )]의 전개식이 등장한다.], [[미분법]][* [math( e^{ ix } )]를 네 번 미분하면 자기 자신으로 돌아오는데 이때 이런 함수는 [math(\sin{ x }, \cos{ x } )]가 대표적. 그러므로 이를 선형결합시키고 상수를 계산하면 공식이 등장한다.], [[미분방정식]][* [math( f \left( x \right)=\cos x+i\sin x )] 으로 하면 [math( i f \left( x \right) =f' \left( x \right) )]이므로 미분방정식을 풀면 [math(f \left( x \right) = e^{ ix } )]이다.], [[복소평면]]과 [[엡실론-델타 논법|함수의 극한]][* [[http://navercast.naver.com/contents.nhn?rid=22&contents_id=2420|네이버 캐스트 오일러의 공식]]참고] 등을 이용해서 할 수 있다. 간단한 예를 들면 양쪽을 함수로 보고 미분하되, 미분한 결과를 테일러 급수로 나타내서 비교하는 걸로 끝. 대부분은 3차항까지 전개하기 전에 규칙을 깨달을 것이다. 모르겠으면 이항정리를 다시 볼 것. [math( \Re \left( e^{ix} \right) =\cos x )]을 [math( x )]축의 [[실수(수학)|실수]], [math( \Im \left( e^{ix} \right) = \sin x )]을 [math( y )]축의 [[허수]]로 보면 [[복소평면]]과 관련된 공식들을 이해하기 쉬위진다.[* 대표적으로 두 복소수의 편각의 합이 두 복소수의 곱의 편각과 같다든가...(이 경우 삼각함수의 덧셈정리로 증명할 수 있다.)] 사실 증명이라고 하지만 미적분을 이용해서 [[복소수]] [[지수(수학)|지수]]를 정의하는 것에 가깝다.[* 고등학생때 지수를 '유리지수'와 '실지수'로 확장시켰듯이.] 복소수의 지수가 정의되었기에 [[복소로그함수|복소수의 로그]] 또한 정의된다. 다만 이 공식은 사실상 우연에 의해서 완성된 것에 가깝다. 애당초 결과값이 수렴하는 무한급수라도 항의 순서를 바꿔서 재정리시에는 원래 급수의 합과 일치하지 않는 경우가 있기 때문이다. 심지어 이렇게 일치하지 않는 경우라면, '''임의의 값으로 수렴하도록''' 재배열할 수 있다는 것이 증명되어 있다. [[리만 재배열 정리]] 참조. 다행히 [math(\{e^{x}\}_{x=ix})]의 테일러 급수전개는 절대수렴하는 급수의 합[* 원래 급수도 수렴하며 각 항의 절대값에 대한 급수값도 수렴하는 급수. 절대수렴과 순서 재배치 후의 수렴값이 일치하는 성질은 유한차원 벡터공간에선 동치이다. 무한차원의 경우 조화급수를 이용한 반례가 있다.]으로 표현되기 때문에 허수단위와 실수단위의 순서를 바꾸는 것이 허용된다. 오일러가 연구할 때만 하더라도 아직 무한급수의 절대수렴 조건이 알려지지 않았기 때문에 오일러에게 있어서는 천운에 가깝다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기